Résumé:   

La résolution des équations diophantiennes, c'est-à-dire les équations polynomiales à coefficients entiers, est un des horizons lointains de la théorie des nombres. Diophante en étant l'initiateur, les mathématiciens arabes et persans ont ensuite été les premiers à développer des méthodes de résolution systématiques, parfois à saveur géométrique.

Mais l'histoire moderne de cette branche des mathématiques prit chair avec la célèbre conjecture de Fermat, qui motiva un mariage subtil entre la géométrie algébrique et la théorie des nombres : la géométrie arithmétique était née.

L'objet de ce mini-cours est d'introduire l'auditoire à la méthode « locale-globale », initiée par Hasse. Autrement dit, une équation polynomiale a-t-elle une solution rationnelle si et seulement si elle a une solution dans tous les complétés du corps des rationnels ?

Dans la première partie, je commencerai par donner une introduction pédestre aux objets omniprésents dans la suite de cet exposé : variétés algébriques, corps p-adiques, groupes de Brauer.

Le deuxième partie de ce mini-cours aura pour objet la méthode locale-globale, ainsi que l'obstruction de Brauer-Manin à l'existence de solutions rationnelles aux équations polynomiales. Nous présenterons enfin des travaux en cours où nous étudions ces obstructions en famille.

 

On commencera par introduire les notions de connexion, de champ de Higgs et d'intégrabilité. On reprendra ensuite la construction de Shiho de la transformée de Cartier et on verra comment celle-ci permet de généraliser des résultats tels que la descente et l'isomorphisme de Cartier.

 

Abstract: Let $G$ be a locally  compact topological group, $\lat{G}$ the space of all its closed subgroups endowed with the Vietoris topology. Let  $\latc{G}$  be the subspace of all   compact  subgroups of  $G$. Any continuous morphism $\varphi\colon G\to H$ between locally compact groups $G$ and $H$ functorially induces continuous maps $\varphi_*\colon \latc{G}\to \latc{H}$ given by $\varphi_*(L)=\varphi(L)$. The main problem in this presentation is that of determining the relationship between the openness of  $\varphi$  and the openness of  $\varphi_*$.  For example  we show  that if $G$   is locally  compact with  compact  identity component and $H$  is   locally  compact totally  disconnected  then $\varphi$  is open  if  and only if $\varphi_*$  is open.

 

9h30 - 10h30:  Elyes Boughattas   (Universite de Bath, United Kingdom)
   Titre: De la résolution des équations diophantiennes au principe local-global

            Partie 1.
10h30-11h:    Pause cafe     
11h00-12h00:    Sami Fersi    (IHES, Paris)
   Titre: Transformée de Cartier local 

Dejeuner

14h00-15h00:    Elyes Boughattas
   Titre: De la résolution des équations diophantiennes au principe local-global
            Partie 2.
15h15-16h15:     Zouhour Jlali   (Faculté des Sciences de Sfax)
  Titre : Open mappings of locally compact groups

Jul 21, 2025 to Jul 21, 2025