Dans ce cours d'une douzaine d'heures, on introduira le principe du maximum pour les équations elliptiques du second ordre, et en utilisant ce principe on établira des estimations a priori de Schau­ der. Les pré-requis se limitent aux connaissances de base en Analyse, du niveau d'une quatrième année d'études universitaires en mathématiques (topologie de Rn, normes dans les espaces de fonctions höldériennes, calcul différentiel dans Rn).

1. 1)  Définition d'un opérateur elliptique

2. 2)  Cas particulier du laplacien : fonctions harmoniques, sous-harmoniques, sur-harmoniques

3. 3)  Théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques

4. 4)  Principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques

5. 5)  Inégalité de Harnack

6. 6)  Noyau de Green

7. 7)  Nécessité de considérer les solutions dans un autre espace que les espaces C^k(\overline{Omega})

8. 8)  Estimations a priori de la solution pour l'équation de Poisson

9. 9)  Estimations a priori du gradient de la solution pour l'équation de Poisson

10. 10)  Estimations a priori des dérivées secondes pour l'équation de Poisson

11. 11)  Estimations de Schauder dans l'espace C^{2,\alpha}(\overline{Omega})

12. 12)  Résolution des équations elliptiques en utilisant les estimations de Schauder