Arezki Kessi, USTHB, Algérie

Sonia Lefnaoui, Université de Medea, Algérie

Tewfik Sari, Institut national de recherche en sciences et technologies pour l'environnement et l'agriculture (IRSTEA) Montpellier, France.

Samia Rebouh, Université de Medea, Algérie

Tounsia Benzekri, USTHB, Algérie

Arezki Kessi, USTHB, Algérie : Systèmes dynamiques en dimension 1.

Le cours est constitué de trois parties : 1) Notions générales sur les systèmes dynamiques.  2) Partition du cercle.  3) Homéomorphismes du cercle

 La première partie est consacrée aux notions générales sur les systèmes dynamiques discrets. On donne des définitions et des exemples de systèmes dynamiques ainsi que certains résultats, sans s’attarder sur les démonstrations. L’exemple qui sera étudié en détail dans suite est le cercle.

Dans la deuxième partie on donne une partition du cercle déterminée par une rotation. On utilise les fractions continues, ce qui permet de représenter géométriquement cette dernière notion. Un petit rappel est nécessaire sur les fractions continues.

Enfin dans la troisième partie on définit le nombre de rotation. On montre son existence ainsi que certaines de ses propriétés.  

Références :

Luis Barreira, Claudia Valls, Dynamical Systems, An introduction, Springer, 2012

Ya. G. Topics in ergodic theory, Princeton university press, 1994.

I. Cornfeld, S. Fomin, Ya. G. Sinai, Ergodic theory, Springer, 1982

Philippe Thieullen, Université de Bordeaux, France : Optimisation ergodique

Ergodic optimization of additive cocyle studies the trajectories of a dynamical system that maximize the time average of an observable. An operator cocycle is a sequence of products of linear operators along a trajectory. Ergodic optimization of operator cocycles studies the vectors of optimal growth under the action of the cocycle. This non-commutative theory of the classical ergodic optimization theory  is new and has many applications in stability, discrete non-autonomous dynamical systems, linear switching systems, or smooth ergodic theory.

The course will review recent theoretical results where the base dynamical system is simple as in the minimal  case (quasi-periodic in time as in Kessi's course) or in the hyperbolic case (existence of a transversally hyperbolic invariant manifold). The course will also be more applied and oriented toward the study of the stability of constraint linear systems in a neural network (as in Rebouh's and Benzeki's course)

Sonia Lefnaoui, Université de Medea, Algérie : Le rôle de la modélisation mathématique dans la prédiction de la biodisponibilité des médicaments

Le développement des médicaments est un vaste domaine, impliquant le rapprochement de plusieurs disciplines scientifiques et médicales. Au cours de son développement, la molécule destinée à un usage thérapeutique, passe par différentes phases, de la préclinique à la clinique.
L’effet d’un médicament est dépendant de la dose administrée et plus généralement de sa posologie. La posologie englobe la quantité de médicament administrée, la fréquence d’administration et la voie d’administration. Si la dose est trop faible, aucun effet ne sera observé. Si la dose est trop élevée, le patient présentera des effets indésirables. Entre les deux se situe un intervalle de doses permettant d’obtenir l’effet thérapeutique souhaité tout en minimisant le risque d’effets indésirables. Les différents mécanismes intervenant in vivo entre l’administration d’un médicament et son effet sur l’organisme peuvent être décrits de façon quantitative. Les études pharmacocinétiques nécessitent à la fois la mesure des concentrations de médicaments dans les milieux biologiques, notamment le sang, par une technique analytique validée, et la quantification du devenir des médicaments dans l’organisme par des méthodes mathématiques (modélisation pharmacocinétique).
La modélisation pharmacocinétique est une discipline qui consiste à modéliser les données obtenues lors des essais expérimentaux sur des médicaments, afin de mieux comprendre et prédire l’efficacité et la toxicité de ces produits ainsi que les sources de variabilité lors de la formulation et du développement. L’objectif est de développer et appliquer des méthodes mathématiques afin de caractériser, comprendre et prédire le comportement d’un médicament, de quantifier l’incertitude liée à ces éléments, et permettre des décisions rationnelles à la fois lors du développement du médicament et lors de son usage thérapeutique.

Tewfik Sari, Institut national de recherche en sciences et technologies pour l'environnement et l'agriculture (IRSTEA) Montpellier, France : Mathematical models in biology: The Consumer–Resource relationship.

1. The Predator–Prey Model

1.1. The logistic model

1.2. The Lotka–Volterra predator–prey model

1.3. The Gause model

1.4. The Rosenzweig–MacArthur model

1.5. The “ratio-dependent” model

1.6. The chemostat model

2. Competition

2.1. The two-species competition Volterra model

2.2. Competition and the Rosenzweig–MacArthur model

2.3. Competition with ratio-dependent models

2.4. Coexistence through periodic solutions

2.5. Competition in the chemostat

References:

R. Arditi, L. Ginzburg. How species interact : altering the standard view on
thophic ecology, Oxford University Press, Oxford, 2012.

J. Harmand, C. Lobry, A. Rapaport, T. Sari. The Chemostat: Mathematical
Theory of Microorganism Cultures, ISTE-WILEY, 2017

C. Lobry. The Consumer-Resource Relationship: Mathematical Modeling,
ISTE-WILEY, 2018

J. D. Murray. Mathematical Biology, Springer-Verlag, New York, 2005.

Samia Rebouh, Université de Medea, Algérie : L'impact de la prédiction des modèles mathématiques dans la pollution des entreprises pharmaceutique

La présence de composés pharmaceutiques dans les eaux usées industrielles est une question émergente en sciences de l'environnement. Notre axe de recherche se concentre sur le comportement des produits pharmaceutiques au cours des traitements des eaux usées par le processus d'absorption en utilisant les biopolymères et leurs dérivés. Toutefois, le coût élevé impliqué suggère qu'une plus grande attention devrait être accordée au potentiel pour l'optimisation de ce processus de traitement. L'application des modèles mathématiques et empiriques a été adaptée pour tenir compte de l'évaluation, de la prévision et de l'optimisation des paramètres qui influent sur ce type de processus. Ainsi des modèles plus performants, dits modèles intelligents tels que les réseaux de neurones et la logique floue ont été développés et ont prouvé leur efficacité dans la prédiction et l’optimisation du traitement de dépollution adapté.

 Tounsia Benzekri, USTHB, Algérie : Introduction to bifurcation theory

The aim of this course is to recall some basic notions of dynamical systems and stability theory, in continuous time, to introduce the theory of bifurcations.
Bifurcation theory considers families of systems depending on parameters. A bifurcation is a qualitative change of dynamics and aims to divide the parameter space in regions in which the system has qualitatively similar behaviors.
In this course, the focus is on the simplest case of single-parameter bifurcations, in two-dimensional systems, as saddle-node, transcritical , pitchfork and Hopf bifurcations.