Conférenciers
- Pr AIBECHE Aissa
Université de Sétif, Algérie. - Pr AGRAM Nacira
Université de Biskra, Algérie. - Pr ED DAHBI M'hamed
Université du roi Saud, Collége de Science, Département de Mathematiques, Arabie Saoudite - Dr KEBIRI Omar
Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg. Germany. - Pr HAMADENE Said
Faculté des sciences et techniques. Université du Maine, France. - Pr NOURDIN Ivan
Faculté des Sciences, de la Technologie et de la Communication. Université du Luxembourg, Luxembourg. - Pr OUKNINE Youssef
Faculté des sciences Semlalia, Université cadi ayyad, Marrakech, Maroc. - Pr Xiaochuan Yang
Faculté des Sciences, de la Technologie et de la Communication. Université du Luxembourg, Luxembourg. - Pr TEBBOUNE Fethallah Ouahbi
Université de Saida Dr Moulay Tahar, Algérie.
Cours 1: Essentiel du calcul stochastique - Mr ED DAHBI M'hamed
L'objectif de ce cours est de donner les éléments essentiels et nécessaires pour développer le calcul différentiel stochastique, notamment la théorie de l'intégration stochastique pour le mouvement Brownien ou processus de Wiener. L’outil le plus puissant calcul différentiel stochastique est la formule du changement de variable dite formule de Itô dans ce cadre. Cette formule permet en particulier de construire d'autres processus stochastique lié au mouvement Brownien notamment les martingales. La formule de Itô permet aussi de donner des interprétations probabilistes à des équations aux dérivées partielles.
Ce cours introductif sera présenté en quatre chapitres. Le premier sera dédié aux notions générales des processus stochastiques en temps continue, notamment définitions, mesurabilité, adaptations, régularités et notions de martingales et propriétés. Le deuxième chapitre sera consacré à l’intégration stochastique au sens de Itô et à la formule de Itô avec une revue sur l’intégrale de Riemann-Stieltjes. Le troisième chapitre traite quelques applications de la formule de Itô et la résolution des équations différentielles stochastiques (EDS), en particulier existence et unicité des solutions. Ce cours se termine par le chapitre quatre qui met en évidence le lien ou la correspondance bilatérale entre les solutions des équations aux dérivées partielles (EDP) et les processus de Markov. Des applications en finance mathématique notamment la valorisation et la couverture des produits dérivés seront présentées en utilisant les EDS et/ou les EDP.
Ce cours introductif sera présenté en quatre chapitres. Le premier sera dédié aux notions générales des processus stochastiques en temps continue, notamment définitions, mesurabilité, adaptations, régularités et notions de martingales et propriétés. Le deuxième chapitre sera consacré à l’intégration stochastique au sens de Itô et à la formule de Itô avec une revue sur l’intégrale de Riemann-Stieltjes. Le troisième chapitre traite quelques applications de la formule de Itô et la résolution des équations différentielles stochastiques (EDS), en particulier existence et unicité des solutions. Ce cours se termine par le chapitre quatre qui met en évidence le lien ou la correspondance bilatérale entre les solutions des équations aux dérivées partielles (EDP) et les processus de Markov. Des applications en finance mathématique notamment la valorisation et la couverture des produits dérivés seront présentées en utilisant les EDS et/ou les EDP.
Cours 2: Introduction au bruit blanc, calcul de Hida-Malliavin et applications - Mme AGRAM Nacira
Nous présentons d’abord une étude du calcul classique de Malliavin basé sur le théorème d’expansion du chaos de Wiener-Itô pour le mouvement brownien. Ensuite, nous introduisons la théorie du bruit blanc de Hida, et dans ce contexte, nous montrons qu'il existe une extension naturelle du calcul de Malliavin du domaine classique D_ {1,2} à l'ensemble de L² (P). Cette extension s'appelle le calcul de Hida-Malliavin. Le calcul de Hida-Malliavin nous permet de prouver de nouveaux résultats sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on pourrait obtenir avec la théorie classique. En particulier, nous prouvons (i) un théorème fondamental généralisé du calcul stochastique et (ii) un théorème général de représentation de solution pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts, en termes de dérivés de Hida-Malliavin. En tant qu’application de la théorie ci-dessus, nous considérons le contrôle optimal des équations intégrales stochastiques de Volterra
Cours 3: Approximation probabiliste à l'aide du calcul de Malliavin - Mr NOURDIN Ivan
La méthode de Stein fût inventée dans les années 60 par l'éminent statisticien Charles Stein pour des raisons d'enseignement. Ce dernier cherchait en effet une manière simple et accessible de démontrer à ses élèves un théorème central limite combinatoire dû à Wald et Wolfowitz. De manière totalement non liée, le calcul de Malliavin fût développé par le grand analyste Paul Malliavin dans les années 70, alors qu'il souhaitait fournir une preuve totalement probabiliste du célèbre critère d'Hörmander ayant trait à l'hypoellipticité des équations aux dérivées partielles. Bien que la méthode de Stein et le calcul de Malliavin aient historiquement poursuivi des buts tout-à-fait différents, ils ont en commun d'être tous les deux basés sur des techniques d'intégrations par parties. Ce dernier fait a été récemment exploité par Ivan Nourdin et Giovanni Peccati dans l'invention de leur approche dite de Malliavin-Stein, qui représente une théorie de l'approximation normale pour des objets probabilistes vivant dans des espaces gaussiens possiblement infini-dimensionnels. Le but de ce cours sera d'introduire les étudiants à cette nouvelle technique, et de leur montrer sa puissance à travers des exemples provenant d'horizons mathématiques divers et contemporains.
Cours 4: Arrêt optimal et Applications aux options américaines - Mr OUKNINE Youssef
Dans ce cours nous allons faire un survol de la théorie générale des processus en insistant sur les tribus optionnelles et prévisibles ainsi que la classification des temps d’arrêt, enfin les fameux théorèmes de section et leurs applications. Nous introduisons les sur martingales optionnelles et leurs décompositions, décomposition dite de Doob-Meyer-Mertens qui s’avère fondamentale en théorie de l’arrêt optimal non régulier. Toutes ces notions s’étendent au cas non linéaire via les solutions des équations différentielles rétrogrades réfléchies (voir les travaux récents de Miryana Grigorova (Peter Imkeller, Youssef Ouknine et Marie-Claire Quenez). Enfin, nous terminerons ce cours par des applications à la valorisation et à la couverture des options Américaines.
Cours 5: Processus de Poisson - Pr Xiaochuan Yang
Le processus de Poisson est sans doute l'objet stochastique le plus fondamental, de nature discrète et largement utilisé dans la modélisation. Dans cette série de conférences, je présenterai des éléments de processus ponctuels de Poisson, le calcul de Malliavin sur les fonctionnelles de Poisson, les inégalités de Poincaré de premier et de second ordre. La théorie est un peu parallèle au calcul de Malliavin sur l'espace de Wiener présenté dans le cours 2. Comme application, on montre l’approximation normale pour les statistiques de graphes géométriques aléatoires basées sur des points de Poisson par l'approche dite de Malliavin-Stein partiellement présentée dans le cours 3.
