Cours Avancé par Hager Bahouri ((Université Paris-Est - Créteil)

Titre : Blow up mechanism for  quasilinear wave equations

The aim of these lectures is to present a mechanism of  singularity formation for a  quasilinear wave equation via a concentration of a stationary state profile. The first part of the lecture is devoted to an overview on basic elements on waves equations and strategy of proof of  local wellposedness results. In the second part,  we give the main ideas for the construction of blow up solutions to some quasilinear wave equation.

Confirmed Speakers:

Ameur Dhahri (Chungbuk National University, South Korea)

Title: C^*--non--linear quantization

This is a joint work with Luigi Accardi. We constructed a non-linear (polynomial) extension of the 1-mode Heisenberg group and the corresponding Fock and Weyl representations. The transition from the 1-mode case to the current algebra level, in which the operators are indexed by elements of an appropriate test function space (second quantization), can be done at Lie algebra level. A way to bypass the difficulties of constructing a (non trivial) Hilbert space representation is to try and construct directly a C^*-algebra representation and then to look for its Hilbert space representations. In usual (linear) quantization, this corresponds to the construction of the Weyl C^*-algebra. We produce such a construction for the above mentioned polynomial extension of the Weyl C^*-algebra. The result of this construction is a factorizable system of local algebras localized on bounded Borel subsets of  R and obtained as inductive limit of tensor products of finite sets of copies of the one mode C^*-algebra. The C^*-embeddings of the inductive system require some non-trivial re-scaling of the generators of the algebras involved. These re-scalings are responsible of a C^*-analogue of the "no-go" theorems, first met at the level of Fock second quantization, namely the proof that the family of Fock states defined on the inductive family of C^*-algebras is projective only in the linear case (i.e. the case of the usual Weyl algebra). Thus the solution of the representation problem at C^*-level does not automatically imply its solution at Hilbert space level.

Imed Kedim (Bizerte)

Imed Laamri  (Université de Sousse)

Title: Contribution à l’étude des suites canoniques de polynômes

Dans cet exposé on donne une présentation de quelques problèmes liés à la théorie des fonctions spéciales et polynômes orthogonaux. Cette présentation porte sur l'étude des suites canoniques de polynômes et, plus précisément, sur les thèmes suivants :
– Fonctions génératrices d’une suite canonique de polynômes.
– Problème de linéarisation associé à trois suites polynomiales canoniques.
– Suite duale d’une suite canonique de polynômes.
– d -Orthogonalité d’une suite canonique de polynômes

Issam Louhichi  (American University of Sharjah, UAE)

Title: "On the commutativity of Toeplitz operators"

Describing the commutant of a given Toeplitz operator, that is the set of all Toeplitz operators that commute with it, is one of the most challenging open questions in the theory of Bergman space Toeplitz operators. In this talk, I will survey former results and recent developments related to this problem, with a particular attention to the so-called quasihomogeneous Toeplitz operators.

Amine Marrakchi (Ecole Normale Supérieure de Paris)

Titre: Algèbres de von Neumann

Dans les années 30, afin de fournir un formalisme mathématique adéquat pour la mécanique quantique, John von Neumann invente la théorie des algèbres d'opérateurs, aujourd'hui appelées algèbres de von Neumann. Depuis les travaux fondateurs de Murray et von Neumann, des progrès spectaculaires ont été accomplis dans l'étude et la classification des algèbres de von Neumann, grâce notamment aux travaux d'Alain Connes. Des liens féconds ont été découverts avec d'autres branches des mathématiques telles que la théorie ergodique, la théorie des groupes ou encore la topologie en basse dimension. Dans cet exposé, je présenterai, après une introduction générale à la théorie, un des principaux résultats obtenus durant ma thèse : une caractérisation de type trou spectral des facteurs pleins de type III.

Anis Matoussi (Université du Mans, France)