RESUMES

Zied Ammari (Université de Rennes 1)

Titre: Flot presque partout des équations différentielles et équations de Liouville.

Résumé: J'exposerai quelques résultats d'existence et d'unicité des solutions pour des équations différentielles avec des champs de vecteurs non-linéaires  peu réguliers (en dimension finie/infinie). J'expliquerai en particulier le lien avec les équations de Liouville.

Delphine Boucher (Université de Rennes 1)

Titre : Quelques aspects des codes différentiels tordus

Résumé: Dans cet exposé, on s'intéresse à une classe de codes d'évaluation "tordus" définis à l'aide d'un anneau de polynômes de Ore. Après avoir donné quelques propriétés de ces anneaux utiles pour la suite, on s'intéressera à des conditions suffisantes d'optimalité pour ces codes. Puis on exposera un algorithme de décodage et on cherchera à montrer quelles sont ses limites.

François Boulier (Université de Lille 1) 

Titre : Introduction à l'algèbre différentielle avec application à l'estimation de paramètres

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai les principes de base de l'algèbre différentielle et je montrerai comment les appliquer au problème de l'estimation de paramètres dans les systèmes dynamiques présentés sous la forme de systèmes d'équations différentielles non linéaires. L'exposé sera illustré d'exemples traités grâce à un logiciel de calcul formel.

[Référence : http://cristal.univ-lille.fr/~boulier/polycopies/AODA/AODA.pdf]

Christophe Delaunay (Université de Franche-Comté)

Titre : Aspects explicites des fonctions L en arithmétiques et applications

Résumé : Dans une première nous motiverons l'importance de l'utilisation des fonctions L en arithmétique à travers plusieurs exemples explicites. Puis, nous expliquerons comment évaluer efficacement certaines fonctions L et donnerons quelques applications.

Sadok Kallel (American University of Sharjah, et Université de Lille 1)

Titre : Espaces de Barycentres en Topologie et Analyse

Résumé : Nous introduirons les espaces de barycentres et expliciterons leur type d’homotopie et homologie dans certains cas illustratifs. Nous mentionnerons brièvement leur intérêt en analyse et calculerons leur caractéristique d’Euler.

François Lemaire (Université de Lille 1)

Titre : Intégration de fractions différentielles

Résumé : L'exposé s’inscrit dans le contexte de l'algèbre différentielle. Dans un premier temps, nous verrons une méthode pour intégrer un polynôme différentiel $p$, c'est-à-dire une méthode calculant deux polynômes $q$ et $r$ tel que $p = \delta q + r$ où $\delta$ est une dérivation fixée à l'avance, et $r$ est la partie non intégrable de $p$. Cette intégration est intéressante d'un point de vue numérique notamment pour l'estimation de paramètres. Dans un deuxième temps, nous généraliserons cette intégration à des fractions.

Référence : Additive normal forms and integration of differential fractions (Boulier,Lemaire, Lallemand, Regensburger, Rosenkranz) http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2937574 ]

Fabrice Orgogozo (CNRS, Ecole polytechnique)

Titre : Sur le calcul d'invariants topologiques de variétés algébriques en caractéristique positive

Résumé : De même que les topologues associent à des espaces, comme la sphère {(x_₁,…,x_n)∈ R^n: x_₁^2+⋯ +x_n^2=1}, des invariants numériques (nombres de Betti), Alexander Grothendieck a construit pour chaque anneau commutatif, comme Z/pZ[X_1,…,X_n]/(X_1^2+⋯ +X_n^2-1) pour p un nombre premier, — ou plus généralement un schéma — des invariants de sa « forme », dans cette situation d'apparence discrète.

Nous commencerons par parler du cas classique où l'anneau est un corps, en expliquant comment on peut calculer (des quotients) de son groupe de Galois, qui est l'analogue du groupe fondamental des topologues.  Nous donnerons ensuite un aperçu d'une construction des groupes de cohomologie
étale de variétés algébriques, donnant naissance aux invariants de Grothendieck susmentionnés, en mettant l'accent sur l'aspect a priori non constructif de sa définition, à tel point que la finitude même de ces
groupes soit loin d'être évidente. Enfin, nous esquisserons un raffinement (obtenu en collaboration avec David Madore) des théorèmes de finitude de Grothendieck et Pierre Deligne, selon lequel on peut, en théorie, calculer les nombres de Betti étales, du moins dans le cas des coefficients de torsion.

[Référence : http://msp.org/ant/2015/9-7/ant-v9-n7-p04-s.pdf]

Adrien Poteaux (Université de Lille 1)

Titre : Calcul du groupe de monodromie d’une courbe algébrique plane

Résumé : Soit $K$ un corps de nombres. Soit $F\in K[x, y]$ un polynôme bivarié et sans facteur carré. Notons $C = {(x_0, y_0)\in C^2 | F(x_0, y_0) = 0}$ la courbe algébrique plane associée. Dans [1], Mark van Hoeij et Bernard Deconinck décrivent le calcul de la matrice des périodes d’une courbe algébrique plane, qui est une première étape pour obtenir une version effective du célèbre théorème d’Abel-Jacobi. Pour calculer une base canonique de l’homologie de la surface de Riemann (nécessaire au calcul des périodes), leur méthode utilise un résultatde Tretkoff et Tretkoff [3], qui réduit la construction de cette base au calcul du groupe de monodromie du revêtement associé à la courbe C. Néanmoins, leur algorithme de calcul de monodromie (commande algcurves[monodromy] de Maple) n’est pas complètement fiable, et nécessite parfois une intervention humaine pour terminer. Par exemple, si l’on considère le polynôme $F(x, y) = y^4 − 200 y^2 + 40 y − 2 − x$, l’algorithme monodromy nécessite 60 chiffres de précision pour rendre un résultat, et tout appel à cette fonction effectué avec une précision moindre renvoie ainsi un message d’erreur. Pour résoudre ces problèmes, nous proposons un nouvel algorithme pour calculer le groupe de monodromie d’une courbe algébrique plane. Les principaux points de notre stratégie sont les suivants :

• Nous utilisons un arbre de recouvrement minimum pour la distance euclidienne de l’ensemble des points critiques augmenté du point de base ; ceci permet de réduire la longueur totale des chemins que nous aurons à suivre.
• Nous relions les fibres entre deux points intermédiaires à l’aide de développements en série tronqués à un ordre contrôlé. Nous donnons notamment des bornes sur les ordres de troncation afin d’avoir des connexions certifiées, et un compromis entre le nombre de points intermédiaires et les ordres de troncations utilisés.
• Nous utilisons des d´développements en série au-dessus des points critiques. Ces derniers décrivent les fonctions lorsqu’elles sont prolongées le long d’un arc de cercle autour d’un point critique, et fournissent la monodromie locale. Le calcul de ces séries de Puiseux au-dessus d’un point critique n’étant pas une tâche aisée, nous décrirons un algorithme symbolique-numérique pour calculer une approximation des coefficients de ces séries. Sommairement, notre stratégie pour ce faire est la suivante :

1. On calcule ces séries de Puiseux modulo un nombre premier p bien choisi, de telle sorte que la structure des séries de Puiseux, que nous stockons dans l’arbre des polygones, est préservée par réduction modulaire.
2. Nous montrons comment suivre cet arbre des polygones pour guider un calcul numérique des coefficients, à l’aide d’un filtre à deux étages ; en particulier, nous utilisons des outils liés aux pgcd approchés pour relier les informations symboliques et numériques à notre disposition. Ceci est un travail effectué dans le cadre de ma thèse [2] à l’université de Limoges, en collaboration avec Marc Rybowicz.

[Références :

[1] B. Deconinck and M. van Hoeij. Computing Riemann Matrices of Algebraic Curves. Phys. D, 152/153:28–46, 2001. Advances in Nonlinear Mathematics and Science.

[2] Adrien Poteaux. Calcul de développements de Puiseux et application au calcul de groupe de monodromie d’une courbe algébrique plane. PhD thesis, Université de Limoges, 2008

[3] C.L. Tretkoff and M.D. Tretkoff. Combinatorial Group Theory, Riemann Surfaces and Differential Equations. Contemp. Math., 33:467–517, 1984]

Alban Quadrat (INRIA, Lille)

Titre : Problèmes algorithmiques de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires

Résumé : Dans cet exposé, nous étudions certains aspects algorithmiques de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Même si cette algèbre n'est pas noethérienne et admet des diviseurs de zéro, Bavula a récemment montré qu'elle était cohérente, ce qui permet le développement d'une théorie algébrique des systèmes linéaires sur cette algèbre. Pour une approche algorithmique des systèmes linéaires d’équations intégro-différentielles ordinaires avec conditions aux bords, le calcul du noyau de matrices à coefficients dans cette algèbre est un problème fondamental. Pour cela, dans un premier temps, nous sommes amenés à calculer les annulateurs d'opérateurs intégro-différentiels, problème qui, à son tour, est relié au problème du calcul des solutions polynomiales de tels opérateurs. Pour une classe d'opérateurs linéaires incluant les opérateurs intégro-différentiels, nous présentons une approche algorithmique pour le calcul des solutions polynomiales et de l'indice. Un ensemble générateur des annulateurs à droite d'un opérateur intégro-différentiel est alors construit grâce au calcul de solutions polynomiales. Pour les problèmes avec conditions initiales, une involution de l'algèbre des opérateurs intégro-différentiels nous permet ensuite de calculer les annulateurs à gauche, qui peuvent être interprétés comme des conditions de compatibilité d’équations intégro-différentielles avec conditions aux bords. Nous illustrons notre approche à l'aide d'une implémentation dans le système de calcul formel Maple.

Inès Saihi (Faculté des Sciences de Tunis)

Titre : Introduction à la théorie de Khovanov et généralisation

Résumé : On commence par une introduction à la théorie des nœuds tout en donnant quelques méthodes algorithmiques pour le calcul de certains invariants des nœuds (essentiellement le polynôme de Jones). Puis, on introduit l’homologie de Khovanov à laquelle on propose une généralisation à tout entrelacs non orienté et à valeurs dans l’algèbre de Frobenius universelle de rang 2.

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