Cours 1: Aziz EL KACIMI de l’université de Valenciennes

Introduction à la géométrie complexe

Ce cours est une introduction assez élémentaire à la notion de variété complexe. Elle sera basée essentiellement sur des exemples à travers lesquels on verra seulement quelques aspects de la géométrie complexe.

En voici le contenu.

1. Rappels sur les fonctions holomorphes d'une variable complexe et de leurs propriétés, lemme de Schwarz, singularités (pôle, singularité essentielle). Théorème de Weierstrass, théorème de Picard.
2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. Notion de variété complexe. Quelques exemples.
3. Automorphismes d'une variété complexe. Revêtement holomorphe et construction de variétés complexes par actions de groupes.
4. Retour à la dimension 1 : les surfaces de Riemann. Les trois principales simplement connexes : la droite complexe C, la droite projective complexe P1(C) et le demi-plan supérieur H. Toute surface de Riemann compacte est le quotient de l'une de ces trois par un groupe d'automorphismes.
5. Les courbes elliptiques : réseaux dans C, le groupe modulaire   Γ= PSL(2; Z), les structures complexes sur le tore T2 et leur équivalence.

Cours 2: Hamid ABCHIR de l’université Hassan II

Topologie Différentielle et Applications

On se propose de donner un aperçu sur certains outils de base nécessaires pour étudier la topologie des variétés :

1. La première partie sera dédiée à une introduction à la topologie différentielle. On énoncera le théorème de la valeur régulière, le théorème de transversalité et le théorème de plongement de Whitney dans le contexte des variétés à bord.
2. La deuxième partie sera dédiée à la théorie de Morse. On définira les fonctions de Morse, on énoncera le lemme de Morse puis on donnera un aperçu sur l'intérêt de telles fonctions dans la description de la topologie d'une variété.
3. Ensuite, on donnera quelques exemples d'application de cette théorie, comme la classification des surfaces ou la décomposition de Heegaard des 3-variétés.
4. Finalement on introduira l’homologie de Morse.

Cours 3 : Vincent BORRELLI de l’université de Lille 1

H-Principe et Intégration convexe

Dans les années 70, M. Gromov fait une découverte surprenante : un certain nombre de problèmes de géométrie différentielle se réduisent à des questions de topologie algébrique. C'est le cas par exemple du problème de la classification des immersions ou de celui de l'existence de plongements isométriques. Il donne rapidement un nom à cette propriété inattendue : le h-principe ou encore principe homotopique. Dans le but de détecter les problèmes qui satisfont à ce principe, il invente une technique, l'intégration convexe, qui se révèle être d'une redoutable efficacité. D'abord confinée aux seuls spécialistes, elle s'est popularisée dans les années 2000 après les travaux de L. Székelyhidi et C. De Lellis sur les solutions paradoxales de l'équation d'Euler. Plus récemment, elle a permis la construction explicite et la visualisation de certains plongements isométriques. Je vous propose dans ce cours de découvrir cette technique ainsi que le h-principe.

Cours 4 : Abdelhak ABOUQATEB de l’université Cadi Ayyad

Introduction à la géométrie des fibrés principaux

Le fibré tangent d’une variété différentiable M peut être interprété comme fibré associé à un fibré principal, le fibré des repères en est un exemple. Pour un espace homogène G=H on peut aussi considérer le fibré G ! G=H. Selon la formulation du problème étudié, on peut utiliser des outils de géométrie différentielle sur des fibrés vectoriels ou sur des fibrés principaux. Il y a souvent une correspondance biunivoque entre les deux approches, mais une loi de dérivation par exemple sur un fibré tangent peut ne pas provenir d’une connexion sur le fibré principal d’origine. Il est important de décrire dans un langage propre aux fibrés principaux, certains objets géométriques sur M (fonctions, champs de vecteurs, formes différentielles, connections).

Voici le plan que nous allons adopter lors de ce mini-cours :

1. Actions de groupes de Lie (actions propres - espaces homogènes - triplets de Clifford-Klein – fibrés associés).
2. Fibré tangent d’un espace homogène (Parallélisabilité d’un espace homogène et problème d’existence d’une métrique riemannienne invariante).
3. Formes à coefficients dans un fibré vectoriel et formes tensorielles à valeurs dans un G-module.
4. Champs de vecteurs sur un fibré principal (champs verticaux, champs invariants et champs projetables).
5. Connections sur un fibré principal.
6. Connections invariantes sur un espace homogène.

Références :

[1] A. Abouqateb et D. Lehmann : Classes caractéristiques et résidus en Géométrie différentielle. Editions Ellipses 2010. [2] W. Greub, S. Halperin and R. Vanstone: Connections, Curvature, and Cohomology. Vol. I,II Academic Press 1972/1973. [3] J.L. Koszul : Lectures On Fibre Bundles and Differential Geometry. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1960. [4] S. Kobayashi and K. Nomizu : Foundations of Differential Geometry. Vol I & II. John Wiley 1963.

Cours 5 : (Tornike KADEISHVILI  de A .Razmadze Mathematical Institute of Tbilisi State University, et Mohamed Rachid HILALI de l’université Hassan II )

Operads in Algebraic Topology

The main ideas of algebraic topology are to assign to a topological space certain algebraic object (model) of which algebraic structure tries to capture the intricate geometry of the space. Examples of such models are chain and cochain complexes, homology and homotopy groups, cohomology algebra, etc. The main problem here is to find models that classify spaces up to some equivalence relation, such as homeomorphism, homotopy equivalence, rational homotopy equivalence, etc. But usually such models are not complete, they cannot do this, they can just distinguish spaces. The models which carry richer algebraic structure contain more information about the space. For example the model "cohomology algebra" allows to distinguish spaces, which cannot be distinguished by the model "cohomology groups". More algebra – more information!

Through the years, topologists constructed various additional structures on classical models: Steenrod operations, Massey products, various types of homotopy A-infty algebras. One of the most appropriate ways to describe these huge algebraic structures is by means of operads, which we will introduce and put to use.

Semaine 1 : Lundi 25 juin au vendredi 29 juin 2018

Semaine 2 : Lundi 02 juillet au vendredi 06 juillet 2018

L'ecole se tiendra a l’Université Internationale de Rabat ou UIR

http://www.uir.ac.ma/

L'UIR est une université publique à gestion privée fondée en 2010.

L’Université Internationale de Rabat propose une offre de formation pluridisciplinaire qui couvre de nombreux domaines de formation. Ses 12 pôles de formation et de recherche délivrent des enseignements de haut niveau, nourris par les activités de recherche et par les étroites relations tissées avec le monde industriel et professionnel.